Who was born a day like this in 1652? Michel Rolle (French mathematician) best known for the so-called Rolle's theorem.

Michel Rolle (21 de abril de 1652 - 8 de noviembre de 1719) fue un matemático francés. Se dedicó preferentemente a la teoría de ecuaciones, dominio en el que encontró diversos resultados, entre los que destaca el reconocido teorema que lleva su nombre formulado en 1691. En el cual representa una aplicación de la teoría de funciones a la de ecuaciones algebraicas. También inventó la notación para designar la enésima raíz de . Rolle nació en Ambert, Basse-Auvergne y murió en París.

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

TEOREMA DE ROLLE
Si  es una función continua definida en un intervalo cerrado , derivable sobre el intervalo abierto  y , entonces:

Existe al menos un punto  perteneciente al intervalo  tal que .

DEMOSTRACIÓN

Con la siguiente explicación, se trata de demostrar que este teorema es correcto.

Una función f cualquiera tiene que cumplir una de las siguientes condiciones:

• f(x) = f(a) para todo x perteneciente al intervalo [a,b].
  En este caso, f es constante y, por lo tanto, f ' (x) = 0 para todos los puntos, es decir, todo punto c del intervalo satisface que f ' (c) = 0.
• f(x) > f(a) para algún x perteneciente a [a,b].
  
  Como f es continua en dicho intervalo, f alcanza su máximo en ese intervalo (por el Teorema de Weierstrass). Al haber algún punto x distinto del punto a conf(x) > f(a) y como f(a) = f(b), entonces ese máximo se alcanza en algún punto c del intervalo. Puesto que existe la derivada en todo el intervalo [a,b], entonces necesariamente f ' (c) = 0.
• f(x) < f(a) para algún x perteneciente a [a,b].
  
  En este caso, f tiene un mínimo en dicho intervalo y por un razonamiento semejante al del punto anterior se concluye que existe un punto c en el intervalo que cumple f ' (c) = 0.