Tal día como hoy nació Leonardo de Pisa conocido como Fibonacci (año 1170)

Tomo prestado de "hijos del átomo" buena explicación sobre la sucesión de Fibonacci (nombre del matemático italiano que la descubrió), veremos también la relación con el archiconocido número áureo:

https://www.hijos-del-atomo.com/miscelanea/la-sucesion-de-fibonacci-y-el-numero-aureo/

¡CURIOSIDADES MATEMÁTICAS QUE COMPARTIMOS DE 20 MINUTOS!

http://listas.20minutos.es/lista/curiosidades-sobre-las-matematicas-280699/

PLIMPTON 322 ¡¡¡¡¡¡De ser cierto sería un hallazgo histórico!!!!!!!

Solucionado un enigma matemático de 3.700 años

Un estudio propone un nuevo significado para la 'piedra rosetta' de las matemáticas

LEE MÁS PINCHANDO AQUÍ:
https://elpais.com/elpais/2017/08/24/ciencia/1503599508_412430.html?id_externo_rsoc=FB_CC

Y AQUÍ LA TRADUCCIÓN NUMÉRICA DE LA TABLA:
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html

El día de Pi, 3,14, 14 de marzo

http://www.piday.es/

LA RAZÓN ÁUREA

Aprende más en este vídeo de RTVE: http://www.rtve.es/alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-numero-aureo/1290977/

TAL DÍA COMO HOY NACIÓ JÁNOS BOLYAI

János Bolyai (15 de diciembre de 1802, Kolozsvár, actual Cluj-Napoca, Rumanía - 27 de enero de 1860, Târgu Mureș, Rumanía) fue un matemático húngaro (por entonces su lugar natal formaba parte del Imperio Austro-Húngaro).

Conocido en la literatura matemática también como Johann Bolyai, es famoso por sus trabajos acerca de la geometría no euclideana, compartiendo la autoría de su descubrimiento de forma independiente con el alemán Carl Friedrich Gauss y con el ruso Nikolái Lobachevski. Bolyai exploró la geometría hiperbólica

Navidades cartesianas!!!!

Como se aproximan las fechas navideñas, os dejo el enlace de una actividad para hacer usando coordenadas cartesianas con un bonito resultado final:

Arte cartesiano para Navidad

Triángulo construido por Jim Smoak, que representa los 465 coeficientes del desarrollo del trinomio (a + b +c)²⁹, separados por colores (380 coeficientes pares, en negro, y 81 coeficientes impares, en rojo). La gracia está en tratar de identificar cada coeficiente y comprobar si las asociaciones que ha hecho se corresponden con la realidad. Le acompaña la siguente leyenda:

“Todos estos términos se unen en una Navidad Matemática, para desearte la mayor de las felicidades”.

Y más curiosidades de las Matemáticas y la Navidad: Probad a dibujarlo en WolphamAlpha:
 


Y por último un clásico:
 

Euler equation

TAL DÍA COMO HOY, EN 2010, FALLECIÓ JOSEPH KRUSKAL CÉLEBRE POR EL ALGORITMO QUE LLEVA SU NOMBRE

Joseph B. Kruskal (29 de enero de 1928, Nueva Jersey, 19 de septiembre de 2010) fue un matemático y estadístico estadounidense. 

Aquí se puede ver un vídeo explicando el Algoritmo de Kruskal o del camino mínimo:

Biografía:

Investigador del Math Center (Bell-Labs), en 1956 descubrió un algoritmo para la resolución del problema del árbol recubridor mínimo, el cual es un problema típico de optimización combinatoria, que fue considerado originalmente porOtakar Boruvka (1926) mientras estudiaba la necesidad de electrificación rural en el sur de Moravia en Checoslovaquia.

El objetivo del algoritmo de Kruskal es construir un árbol (subgrafo sin ciclos) formado por arcos sucesivamente seleccionados de mínimo peso a partir de un grafo con pesos en los arcos.

Un árbol (spanning tree) de un grafo es un subgrafo que contiene todos sus vértices o nodos. Un grafo puede tener múltiples árboles. Por ejemplo, un grafo completo de cuatro nodos (todos relacionados con todos) tendría 16 árboles.

La aplicación típica de este problema es el diseño de redes telefónicas. Una empresa con diferentes oficinas, trata de trazar líneas de teléfono para conectarlas unas con otras. La compañía telefónica le ofrece esta interconexión, pero ofrece tarifas diferentes o costes por conectar cada par de oficinas. Cómo conectar entonces las oficinas al mínimo coste total.

La formulación del MST también ha sido aplicada para hallar soluciones en diversas áreas (diseño de redes de transporte, diseño de redes de telecomunicaciones - TV por cable, sistemas distribuidos, interpretación de datos climatológicos, visión artificial - análisis de imágenes - extracción de rasgos de parentesco, análisis de clusters y búsqueda de superestructuras de quasar, plegamiento de proteínas, reconocimiento de células cancerosas, y otros).

Otra aplicación menos obvia es que el árbol de coste total mínimo puede ser usado como solución aproximada alproblema del viajante de comercio, el cual es NP-completo. La manera formal de definir este problema es encontrar latrayectoria más corta para visitar cada punto al menos una vez. Nótese que si se visitan todos los puntos exactamente una vez, lo que se tiene es un tipo especial de árbol. En el ejemplo anterior, 12 de los 16 árboles son trayectorias de este tipo. Si se tiene una trayectoria que visita algunos vértices más de una vez, siempre se puede soltar algunos nodos delárbol. En general el peso del árbol total mínimo es menor que el del viajante de comercio, debido a que su minimización se realiza sobre un conjunto estrictamente mayor. Existen diferentes algoritmos y maneras de usar el árbol de coste total mínimo para encontrar la solución al problema del viajante de comercio (con resultados cercanos al óptimo).

Tal día como hoy.....Marin Mersenne (Matemático, teólogo, filósofo y músico)

                                             http://www.ugr.es/~eaznar/mersenne.htm

Hoy saco un hueco para la sección: "Tal día como hoy" nació el japonés Taniyama....

Más información sobre el teorema de Taniyama-Shimura en el enlace:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taniyama-Shimura

Hoy algo con más nivel. Día del Teorema de Papus que aquí os dejo....

Teorema del centroide de Pappus, también conocido como teorema de Guldin, teorema de Pappus-Guldin o teorema de Pappus, es el nombre de dos teoremas que relacionan superficies y volúmenes de sólidos de revolución con sus respectivos centroides. Los teoremas se les atribuyen a Pappus de Alejandría y a Paul Guldin.

TEOREMA 1:

 El área A, de una superficie de revolución generada mediante la rotación de una curva plana C alrededor de un eje externo a tal curva sobre el mismo plano, es igual a su longitud L, multiplicada por la distancia, drecorrida por su centroide en una rotación completa alrededor de dicho eje



Por ejemplo, el área de la superficie de un toro de radio menor y radio mayor es:

donde el radio menor corresponde a la superficie circular transversal. El radio mayor es el radio de la circunferencia mayor generatriz.


TEOREMA 2:
El volumen, V, de un sólido de revolución generado mediante la rotación de un área plana alrededor de un eje externo, es igual al producto del área, A, por la distancia, d recorrida por su centroide en una rotación completa alrededor del eje.



Por ejemplo, también el volumen de un toro de radio menor y radio mayor es



Donde es el radio de la circunferencia menor transversal y es el radio de la circunferencia mayor o generatriz.

Ver demostración aquí: Demostración del teorema de Papus-Guldin

Vídeos con aplicaciones del Teorema:

La paradoja del Barbero

Antes de nada, ¿qué es una paradoja?

Una declaración en apariencia verdadera que conduce a una situación contra el sentido común. La de Russell es una de las más famosas, ya que hizo temblar la teoría de los conjuntos que pone base a las matemáticas. ¿Cómo se formula?

Consideremos un conjunto cuyos elementos son todas las sillas del mundo. Es evidente que el propio conjunto no es una silla. Por tanto no es un elemento de sí mismo. Los conjuntos que cumplan esa condición (no ser elementos del propio conjunto) se denominan conjuntos normales.

La paradoja del Barbero es atribuida a Bertrand Russell, el gran filósofo y racionalista británico, la paradoja del barbero tiene una historia bastante larga, y fue empleada por este en su estudio de la teoría de conjuntos de Cantor.


En una ciudad con un solo barbero, todos los hombres parecen púlcramente afeitados. En esa ciudad los hombres o se afeitan a sí mismos, o acuden al barbero.

En la barbería cuelga un cartel que dice:

"Afeito a todos los hombres del lugar que no se afeitan a sí mismos, y únicamente a éstos".

He aquí la paradoja, porque... ¿Quién afeita al barbero?

• Si el barbero se afeita a sí mismo, está en el grupo de ciudadanos que se afeitan a sí mismos, y por tanto... como único barbero del pueblo, no podría afeitarse a sí mismo. Lo dice claramente su cartel... "únicamente afeito a los hombres que no se afeitan por si mismos".

• Si no se afeita a sí mismo, entonces forma parte del grupo de ciudadanos que no se afeitan solos, y por lo tanto debería afeitarse a sí mismo pues es el único barbero.

¿Cómo puede ser esto posible? ¿Existe alguna solución? Una pista: esta paradoja sirvió para que Russell demostrase que no puede haber un conjunto que se contenga a sí mismo.

Algo más de paradojas lo podéis encontrar aquí:  http://www.emezeta.com/articulos/13-paradojas-que-quizas-no-conocias

María Gaetana Agnesi (Filósofa y Matemática) y nacimos el mismo día

María Gaetana Agnesi

Nacida el 16 de mayo de 1718 hija de un profesor matemático. A la edad de nueve años hablaba francés, latín, griego, hebreo y algunas otras lenguas. A esa edad escribió un discurso defendiendo la educación de las mujeres. En sus años de adolescencia debatía con hombres matemáticos sobre distintos temas: propagación de la luz, cuerpos transparentes y figuras curvilíneas en geometría. A la edad de 20 años quiso entrar en un convento; pero su padre se denegó. María nunca se casó. Ella dedicó su vida al estudio de las matemáticas y a cuidar a sus 20 hermanos en el momento en que murió su madre.

Desde los 20 años trabajó en su trabajo más importante: Instituciones Analíticas, basado en cálculo diferencial e integral y publicado en 1748. Este libro fue traducido al francés y al inglés. Una de las partes más importantes de este libro fue: la curva de plano cúbico con la ecuación cartesiana

.

Cuando este libro fue traducido al inglés por John Colson, profesor de matemáticas de Cambridge, éste le dió el nombre de "bruja" a la curva estudiada por Agnesi debido a una mala traducción y de ahi cada vez que se iba a mencionar a Agnesi se referian a ella como labruja de Agnesi.

Agnesi nunca pudo entrar a la Academia Francesa por ser mujer; pero si en las Academias Italianas por éstas ser mas liberales. Agnesi fue elegida por la Academia de las Ciencias de Bologna donde dedicaron su libro a la Emperatriz María Teresa. Después, fue reconocida por el Papa Benedicto XIV, quien estaba interesado en las matemáticas. Luego de la muerte de su padre, se dedicó a obras caritativas para mujeres enfermas. Murió el 9 de enero de 1799. En su primer centenario de muerta pusieron su nombre a varias calles en Milán, Monza y Masciago y se becaron mujeres en su nombre.

Un matemático descifra la fórmula para ganar a 'piedra, papel o tijera'

¿Habéis jugado alguna vez verdad?

 Parece un juego sencillo e inocente, donde el azar dicta el resultado, pero lo cierto es que esconde unos patrones ocultos que se pueden predecir a medida que los jugadores van superando más rondas. Esta es la conclusión de un estudio matemático, llevado a cabo por científicos de la Universidad de Zhejiang (China), que ha analizado cuáles son esos patrones y revela las claves para ganar el juego. El trabajo, que se ha publicado en Arxiv.org, se realizó durante un torneo masivo de esta disciplina, celebrado en la propia universidad. Leer más...

Anécdota del pequeño genio de hoy: El príncipe de la Matemáticas GAUSS!!

Aquí os dejo la anécdota de más conocida de cuando Gauss era un niño, para aquellos que no la conozcáis:

“…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad… pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución: los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante:

1, 2, 3, 4…….. 97, 98, 99, 100

1+100 = 2+99 = 3+98 = 4+97 =… = 101

Con los 100 números se pueden formar 50 pares, de forma que la solución final viene dada por el producto          101· 50 = 5050

Gauss había deducido la fórmula que da la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término:dónde a₁ es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión..”

Termino con una cita muy interesante encontrada en el libro “Los grandes matemáticos” de E. T. Bell (1948) 

“Cuando Gauss tenía diecinueve años, su madre preguntó a un amigo de éste, el matemático Wolfang Bolyai, si Gauss llegaría a ser alguien. Bolyai le respondió: ¡El más grande de los matemáticos de Europa!, y ella se puso a llorar.”

Aquí dejo más para quienes tengan interés en algunas de las cosas que demostró Gauss:

http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm

Tal día como hoy nació el matemático francés Henri Poincaré. Aquí os dejo su conjetura....

     La Conjetura de Poincaré fue una de las hipótesis más importantes de la Topología, y dejó de ser conjetura para convertirse en teorema tras su demostración por el ruso Perelman en fecha tan reciente como 2006. El teorema afirma que «La esfera tridimensional (también llamada 3-esfera o hiperesfera) es la única variedad compacta de dimensión 3 en la que todo lazo o círculo cerrado se puede deformar (transformar) en un punto». Este último enunciado es equivalente a decir que «Sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional», o bien, «Cualquier variedad compacta simplemente conexa de dimensión 3 sin frontera es homeomorfa a la esfera». Compacta significa que la variedad no es ilimitada (en IRn compacto significa cerrado y acotado). Coloquialmente, una superficie es simplemente conexa cuando no tiene agujeros. Más rigurosamente, cuando cualquier curva cerrada contenida en ella puede deformarse hasta convertirse en un punto. Por ejemplo lo es la esfera pero no el toro.

Veamos una explicación de todo esto:

       La 1-esfera sería una circunferencia (x12+x22=r2) y la 2-esfera una esfera usual (x12+x22+x32=r2). Lo mejor es empezar viendo que la conjetura es muy intuitiva en este último caso de dimensión 2. La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. Pues bien, el criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera, y se dice que es simplemente conexa:

NOTA: La 2-esfera es una superficie de dimensión 2 -es como la cáscara de una naranja (sólo la cáscara, sin incluir el interior)-. También lo es el toro, esto es, la superficie de un donut:

Estas superficies son bidimensionales porque (al menos localmente) podemos describir en qué punto de la superficie estamos dando dos números. Pensemos en la superficie de la Tierra, donde sólo necesitamos la latitud y la longitud…

El problema es que ¡no podemos ver la 3-esfera! porque no vive en el espacio tridimensional (su ecuación sería (x12+x22+x32+x42=r2), al igual que la 2-esfera no vive en el plano. ¡Ojo! Es un error pensar que la 3-esfera es una bola rellena, es decir el cuerpo sólido que encierra la 2-esfera. Esa es una intuición infundada.

Teorema (Clasificación de superficies): Las superficies cerradas de dimensión 2 son las siguientes: la esfera y los toros de género finito cualquiera (El género de una figura es el número de agujeros que tiene).

Cuando decimos que una determinada superficie es una esfera, entendemos que es homeomorfa a una esfera. Por ejemplo, que podemos deformar la cucharilla de la siguiente figura en una esfera:

Un homeomorfismo, en topología, es toda transformación continua que conserva la forma. Por ejemplo, una esfera y una cucharilla son homeomorfas, y también una taza y un donut; en cambio, una taza y una esfera no lo son.

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Como hemos dicho arriba, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa, y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad (homeomórfica) de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus homeomorfos). En topología, dos figuras sonhomeomorfas (es decir, equivalentes) si una se puede obtener de la otra doblando, estirando, encogiendo, retorciendo... pero siempre sin romper nada ni colapsar agujeros. Es decir, para un topólogo una taza es igual a un toro (un donut):

Se sabe que todas las superficies de dimensión 2 son topológicamente equivalentes (la palabra adecuada es homeomorfas) a la 2-esfera, o al toro, o al toro de 2 agujeros, o al de 3, etc. 

La motivación de Poincaré fue seguramente por analogía con la dimensión 2, donde todo se entendía. Estaba buscando una propiedad sencilla que caracterizara el espacio tridimensional más simple, la 3-esfera. ¿Qué propiedad era esa? Volvamos a las superficies:

Si dibujamos cualquier lazo (una curva cerrada simple, esto es, que no se corta a sí misma) en la superficie de la esfera, podemos “encogerlo” hasta convertirlo en un punto:

Pero en un toro no siempre podemos hacer esto; por ejemplo, los dos siguientes lazos no se pueden encoger hasta un punto de manera continua:

Y en el toro de género 2 (un flotador en forma de 8) también podemos construir estos mismos lazos, que no se pueden encoger hasta un punto. Y en el de género 3, etc.

Y de hecho se sabe que esto ocurre para cualquier superficie que no sea la esfera. Es decir, la propiedad de que todo lazo puede encogerse (continuamente) hasta un punto, caracteriza a la 2-esfera.

Igual que para la 2-esfera, todo lazo en la 3-esfera puede contraerse a un punto.

¿Qué pasa con el recíproco? El recíproco es la conjetura de Poincaré: “Si un espacio tridimensional tiene la propiedad de que todo lazo en ese espacio puede encogerse a un punto, entonces ese espacio es topológicamente equivalente a la 3-esfera”.

En efecto, en 1904 el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) (figura izquierda) conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3 tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras, en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés hasta convertirse en el problema abierto más notable de la Topología geométrica, con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno de los problemas sin resolver más importantes de la Matemática.

Para dimensión dos ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen Smale (1930- ) lo consiguió para n mayor o igual que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática.

Su demostración fue considerada uno de los Siete Problemas del Milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute en 2000, ofreciendo 1.000.000 $ por la solución de cada uno. Finalmente, el excéntrico matemático ruso Grigori Perelman (figura derecha) hizo pública su demostración. Justamente por resolver este problema, Perelman recibió en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel de las matemáticas. Otro premio que también rechazó.

La historia de este hallazgo ha sido controvertida: Perelman anunció haberlo demostrado en 2002 a través de dos publicaciones en Internet. En junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong anunciaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares de Perelman (éstos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de las estructuras topológicas de dimensión 3. Sin embargo, una gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde aPerelman y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma. Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelman cuando se le otorgó la Medalla Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un semanario estadounidense Perelman aseguró no querer ser una mascota en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro reconocimiento sobre la validez de su trabajo.

Today is....THe World Book Day

World Book Day or World Book and Copyright Day (also known as International Day of the Book or World Book Days) is a yearly event on 23 April, organized by UNESCO to promote reading, publishing and copyright. In the United Kingdom, the day is instead recognised on the first Thursday in March.

World Book Day was celebrated for the first time on 23 April 1995

Who was born a day like this in 1652? Michel Rolle (French mathematician) best known for the so-called Rolle's theorem.

Michel Rolle (21 de abril de 1652 - 8 de noviembre de 1719) fue un matemático francés. Se dedicó preferentemente a la teoría de ecuaciones, dominio en el que encontró diversos resultados, entre los que destaca el reconocido teorema que lleva su nombre formulado en 1691. En el cual representa una aplicación de la teoría de funciones a la de ecuaciones algebraicas. También inventó la notación para designar la enésima raíz de . Rolle nació en Ambert, Basse-Auvergne y murió en París.

En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

TEOREMA DE ROLLE
Si  es una función continua definida en un intervalo cerrado , derivable sobre el intervalo abierto  y , entonces:

Existe al menos un punto  perteneciente al intervalo  tal que .

DEMOSTRACIÓN

Con la siguiente explicación, se trata de demostrar que este teorema es correcto.

Una función f cualquiera tiene que cumplir una de las siguientes condiciones:

• f(x) = f(a) para todo x perteneciente al intervalo [a,b].
  En este caso, f es constante y, por lo tanto, f ' (x) = 0 para todos los puntos, es decir, todo punto c del intervalo satisface que f ' (c) = 0.
• f(x) > f(a) para algún x perteneciente a [a,b].
  
  Como f es continua en dicho intervalo, f alcanza su máximo en ese intervalo (por el Teorema de Weierstrass). Al haber algún punto x distinto del punto a conf(x) > f(a) y como f(a) = f(b), entonces ese máximo se alcanza en algún punto c del intervalo. Puesto que existe la derivada en todo el intervalo [a,b], entonces necesariamente f ' (c) = 0.
• f(x) < f(a) para algún x perteneciente a [a,b].
  
  En este caso, f tiene un mínimo en dicho intervalo y por un razonamiento semejante al del punto anterior se concluye que existe un punto c en el intervalo que cumple f ' (c) = 0.

Funny picture!

El whatsApp entre otras cosas permite compartir cosas como estas,mirad lo que el otro día me envió un amigo matemático:

¿Lo entendéis?